jueves, 29 de noviembre de 2012
Relaciones entre dos angulos
sábado, 17 de noviembre de 2012
Nuestros amigos: Los ángulos
En esta larga travesía nos encontraremos con amigos y enemigos mortales. Pero siempre prevalece lo bueno :D
Qué y como son? Hay que conocer mucho a alguien para ser su amigo. Los ángulos se definen de muchas formas, pueden ser:
El grado de amplitud entre dos rectas que poseen un punto común. O bien la inclinación o giro de éstas para tener la misma posición. Intervalo o espacio entre estas dos rectas, etc.
No me detendre en los tipos de ángulos, ya que es solo memorizar. Pueden verlo en cualquier página o libro.
¿Como llamarás a tu nuevo amigo? Bueno, tienen tantos nombres que les puedes poner hasta apellido.
1) Por medio de la letra del vértice en que se forma. Por ejemplo, <A
2) Nombrandolo con una letra minúscula o número colocado entre los lados del ángulo y cerca del vértice. < 1
3) Por medio de tres letras mayúsculas, donde la letra del medio debe ser la correspondiente a la del vertice. <BAC o <CAB
Los ángulos son medidos en grados, No olvidemos que el tamaño de un ángulo no depende de la longitud de sus lados.
Tips sobre nuestros camaradas:
Ángulos congruentes: ángulos que tienen el mismo número de grados. O sea, m<A = m<B (donde "m" es medida), entonces <A
<B
Ángulos complementarios: ángulos cuya suma es igual a 90°
Ángulos suplementarios:ángulos cuya suma es igual a 180°
Ángulos adyacentes: ángulos que comparten un vértice y un lado.
Angulos opuestos por el vértice: son aquellos que comparten el vertice pero no los lados. Sus lados son semirrectas opuestas (dos rectas que se cortan en un punto)
Ángulo recto: ángulo que mide 90°
Qué y como son? Hay que conocer mucho a alguien para ser su amigo. Los ángulos se definen de muchas formas, pueden ser:
El grado de amplitud entre dos rectas que poseen un punto común. O bien la inclinación o giro de éstas para tener la misma posición. Intervalo o espacio entre estas dos rectas, etc.
No me detendre en los tipos de ángulos, ya que es solo memorizar. Pueden verlo en cualquier página o libro.
¿Como llamarás a tu nuevo amigo? Bueno, tienen tantos nombres que les puedes poner hasta apellido.
1) Por medio de la letra del vértice en que se forma. Por ejemplo, <A
2) Nombrandolo con una letra minúscula o número colocado entre los lados del ángulo y cerca del vértice. < 1
3) Por medio de tres letras mayúsculas, donde la letra del medio debe ser la correspondiente a la del vertice. <BAC o <CAB
Los ángulos son medidos en grados, No olvidemos que el tamaño de un ángulo no depende de la longitud de sus lados.
Tips sobre nuestros camaradas:
Ángulos congruentes: ángulos que tienen el mismo número de grados. O sea, m<A = m<B (donde "m" es medida), entonces <A
<BÁngulos complementarios: ángulos cuya suma es igual a 90°
Ángulos suplementarios:ángulos cuya suma es igual a 180°
Ángulos adyacentes: ángulos que comparten un vértice y un lado.
Angulos opuestos por el vértice: son aquellos que comparten el vertice pero no los lados. Sus lados son semirrectas opuestas (dos rectas que se cortan en un punto)
Ángulo recto: ángulo que mide 90°
Axiomas y postulados varios!!!... Muchos para escoger :D
Aqui les dejaré varios axiomas y postulados relacionados con geometría y otros no, pero se relacionan con matemáticas. Me gustaría que los leyeran y se quedaran pensando que tan evidente son, si son verdad, como se aplican, no se :P Aquí van:
PD: me basaré mucho en ellos para hacer demostraciones más adelante, Y si se te olvidan propiedades en las pruebas puedes sacar informacion de aqui y, por ejemplo, decirle a tu profe: "Pero si un punto esta sobre una linea que corta en dos parte iguales a un segmento y es equidistante a los extremos de este, corta perpendicularmente al segmento" para querer corroborar congruencia de triangulos rectangulos.
Postulado 1: Objetos iguales a si mismos o a otros objetos iguales, son iguales entre si.
Postulado 2: Una cantidad puede sustituirse por su equivalente en cualquier expresión o ecuación.
Axioma 1: El total es igual a la suma de sus partes
Axioma 2: una cantidad es igual a si misma.
Postulado 3: Si objetos iguales se suman a otros objetos iguales, sus sumas son iguales.
Este postulado se aplica tambien a la resta, división, miltiplicación, potencia, raíz, etc. Son los principios de las ecuaciones. :)
Postulado geometrico: Entre dos puntos cualquiera puede trazarse una y solo una línea recta.
Este postulado es la base o caracteristica de la geometria euclideana, se custionó por dos matemáticos:
Riemann: quien dijo " Por un punto dado exterior a una recta no pasa ninguna paralela
Lobatchevsky: lo sustituyó por " Por un punto exterior a una recta pasan dos paralelas que separan las infinitas rectas no secantes de las infinitas secantes"
Encuentro que son malos dando nombres los matematicos... estas geometrías se llamaron "no euclideanas"
Otro: dos lineas rectas se intersectan en uno y solo un punto.
Otro 2: La longitud de un segmento de linea recta es la distancia más corta entre dos puntos.
Otro 3: Un segmento tiene uno y solo un punto medio.
Otro 4: Cualquier figura puede cambiar de posición sin cambiar de forma o tamaño.
PD: me basaré mucho en ellos para hacer demostraciones más adelante, Y si se te olvidan propiedades en las pruebas puedes sacar informacion de aqui y, por ejemplo, decirle a tu profe: "Pero si un punto esta sobre una linea que corta en dos parte iguales a un segmento y es equidistante a los extremos de este, corta perpendicularmente al segmento" para querer corroborar congruencia de triangulos rectangulos.
Postulado 1: Objetos iguales a si mismos o a otros objetos iguales, son iguales entre si.
Postulado 2: Una cantidad puede sustituirse por su equivalente en cualquier expresión o ecuación.
Axioma 1: El total es igual a la suma de sus partes
Axioma 2: una cantidad es igual a si misma.
Postulado 3: Si objetos iguales se suman a otros objetos iguales, sus sumas son iguales.
Este postulado se aplica tambien a la resta, división, miltiplicación, potencia, raíz, etc. Son los principios de las ecuaciones. :)
Postulado geometrico: Entre dos puntos cualquiera puede trazarse una y solo una línea recta.
Este postulado es la base o caracteristica de la geometria euclideana, se custionó por dos matemáticos:
Riemann: quien dijo " Por un punto dado exterior a una recta no pasa ninguna paralela
Lobatchevsky: lo sustituyó por " Por un punto exterior a una recta pasan dos paralelas que separan las infinitas rectas no secantes de las infinitas secantes"
Encuentro que son malos dando nombres los matematicos... estas geometrías se llamaron "no euclideanas"
Otro: dos lineas rectas se intersectan en uno y solo un punto.
Otro 2: La longitud de un segmento de linea recta es la distancia más corta entre dos puntos.
Otro 3: Un segmento tiene uno y solo un punto medio.
Otro 4: Cualquier figura puede cambiar de posición sin cambiar de forma o tamaño.
Y Como piensa? Obvio, deductivamente.
El método deductivo a grandes rasgos es encadenar suposiciones o conocimientos dados como ciertos para obtener otros, resultantes de una consecuencia lógica.
En el método deductivo existen diversos tipos de proposiciones, muy usados en geometría: los axiomas, postulados y teoremas. ¿La afirmacion: "Existen infinitos puntos" es un Axioma, postulado o teorema? Si te enredaste te dejo las definiciones abajo c:
Axioma: proposicion tan sencilla que se acepta sin demostración.
Ejemplo: Algo es igual a si mismo. Ejemplo: 2 = 2
Postulado: Proposicion no tan evidente pero que igualmente se acepta como verdad.
Ejemplo: Objetos iguales a si mismos o a otros objetos iguales, son iguales entre si.
Enrredado cierto? Aqui un ejemplo: Si a = b y b = c. Entonces a = c.
Teorema: Proposición que puede ser demostrada a través de axiomas, postulados o definiciones; no debe ser demostrada a través de experimentación, no es válido. Se encadenan razonamientos basados en proposiciones ya demostradas o proposiciones verdaderas para llegar a la evidencia del teorema.
En todo teorema se distinguen dos parte:
Hipótesis, es lo dado o lo supuesto.
Tesis, lo que se quiere demostrar.
Ejemplo: La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180 grados.
Hipótesis: La suma de los ángulos interiores de un triángulo
Tesis: suman 180 grados.
Esta proposicion se puede demostrar con ángulos entre paralelas... pero lo veremos más adelante.
En el método deductivo existen diversos tipos de proposiciones, muy usados en geometría: los axiomas, postulados y teoremas. ¿La afirmacion: "Existen infinitos puntos" es un Axioma, postulado o teorema? Si te enredaste te dejo las definiciones abajo c:
Axioma: proposicion tan sencilla que se acepta sin demostración.
Ejemplo: Algo es igual a si mismo. Ejemplo: 2 = 2
Postulado: Proposicion no tan evidente pero que igualmente se acepta como verdad.
Ejemplo: Objetos iguales a si mismos o a otros objetos iguales, son iguales entre si.
Enrredado cierto? Aqui un ejemplo: Si a = b y b = c. Entonces a = c.
Teorema: Proposición que puede ser demostrada a través de axiomas, postulados o definiciones; no debe ser demostrada a través de experimentación, no es válido. Se encadenan razonamientos basados en proposiciones ya demostradas o proposiciones verdaderas para llegar a la evidencia del teorema.
En todo teorema se distinguen dos parte:
Hipótesis, es lo dado o lo supuesto.
Tesis, lo que se quiere demostrar.
Ejemplo: La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180 grados.
Hipótesis: La suma de los ángulos interiores de un triángulo
Tesis: suman 180 grados.
Esta proposicion se puede demostrar con ángulos entre paralelas... pero lo veremos más adelante.
De lineas, segmentos... y sangre
Es para hacerlo mas dramático :D
Habiamos visto que existian tipos de líneas, bueno de ellas tambien derivas muchas otras:
Recta, curva, quebrada, curva simple cerrada, segmento, rayo... y muchas otras. Solo pondré las básicas.
Línea recta: como ya habiamos visto, concebida como un conjunto infinito de puntos que se extendienden en una sola direccion. Se denota con don puntos cualquiera contenidos en ella y con una pequeña linea con dos flechas:
Línea curva: La única diferencia con la anterior que es que cambia de direccion constantemente, sin embargo, puede contener segmentos rectos.
Segmento: porcion de una línea delimitado o comprendido por dos puntos (incluyendo los puntos). Se designa como:
y se lee: segmento AB
Rayo: línea recta que comienza en un punto dado, se proyecta en una direccion y continua infinitamente. (Se ocupa mucho en los lados de angulos)
Habiamos visto que existian tipos de líneas, bueno de ellas tambien derivas muchas otras:
Recta, curva, quebrada, curva simple cerrada, segmento, rayo... y muchas otras. Solo pondré las básicas.
Línea recta: como ya habiamos visto, concebida como un conjunto infinito de puntos que se extendienden en una sola direccion. Se denota con don puntos cualquiera contenidos en ella y con una pequeña linea con dos flechas:
Línea curva: La única diferencia con la anterior que es que cambia de direccion constantemente, sin embargo, puede contener segmentos rectos.
Segmento: porcion de una línea delimitado o comprendido por dos puntos (incluyendo los puntos). Se designa como:
y se lee: segmento ABRayo: línea recta que comienza en un punto dado, se proyecta en una direccion y continua infinitamente. (Se ocupa mucho en los lados de angulos)
Los misteriossos Conceptos Elementales O:
Los siguientes son los elementos en los que se basa toda la geometria. ¿Por qué no se definen? No se, quizas sea al desear tener una idea mas abstracta del universo, por el problema de definir anchura o longitud... Bueno, si tienes tendencia matemática o linguistica, tienes una nueva interrogante: ¿Por qué no se definen los conceptos más necesarios o bases de la geometría?
Y sino, pasa a memorizarte lo siguiente: Si bien no se definen, se les otorgaron propiedades:
Punto: Algo infinitamente pequeño que carece de dimension. (Trata de imaginarlo)
Un punto importante :B es: Existen infinitos puntos
Línea: puede imaginarse como un conjunto de puntos o bien como un punto en movimiento.
Tiene una dimension: longitud pero no anchura
Existen lineas curvas y rectas. Las lineas rectas son aquellas que se extienden en una sola direccion mientras que una linea curva cambia de direccion constantemente.
Concepto relacionado: Las líeas rectas se extienden infinitamente en ambos sentidos. No comienza ni termina. Super loco.
Plano: conjunto infinito de puntos que posee anchura y longitud pero profundidad. Objeto bidimensional infinito.
Algo que me ayudo a entender o asimilar el plano un poquiiiiiiiiito más, fue: El plano tiene una longitud tal que si colocamos una recta o varias (infinitas en ambos sentidos) quedan contenidas completamente.
Y sino, pasa a memorizarte lo siguiente: Si bien no se definen, se les otorgaron propiedades:
Punto: Algo infinitamente pequeño que carece de dimension. (Trata de imaginarlo)
Un punto importante :B es: Existen infinitos puntos
Línea: puede imaginarse como un conjunto de puntos o bien como un punto en movimiento.
Tiene una dimension: longitud pero no anchura
Existen lineas curvas y rectas. Las lineas rectas son aquellas que se extienden en una sola direccion mientras que una linea curva cambia de direccion constantemente.
Concepto relacionado: Las líeas rectas se extienden infinitamente en ambos sentidos. No comienza ni termina. Super loco.
Plano: conjunto infinito de puntos que posee anchura y longitud pero profundidad. Objeto bidimensional infinito.
Algo que me ayudo a entender o asimilar el plano un poquiiiiiiiiito más, fue: El plano tiene una longitud tal que si colocamos una recta o varias (infinitas en ambos sentidos) quedan contenidas completamente.
Geometria
Como debemos saber ya de memoria, geometria viene de "Geo": tierra y "Metron": medida.
Pero actualmente, no se si ahora pensamos de una manera muy abstracta, la geometria nos parece un poco carente de sentido a la mayoria de los estudiantes, por ejemplo, esas formulas extrañas y complicadas con raices cuadradas para calcular una simple distancia... Pero no debemos olvidar que en la geometria tenemos una representacion de las otras areas de la matematica ademas de servirnos frente a casos no tan simples.
Es una bonita rama. Aqui tratare de hacer una compilacion de diversos textos y explicarlos a mi manera y orden :P
Geometria: rama de la matematica que estudia las medidas y propiedades de las figuras y cuerpos formados por puntos y lineas dentro de una plano o espacio.
Pero actualmente, no se si ahora pensamos de una manera muy abstracta, la geometria nos parece un poco carente de sentido a la mayoria de los estudiantes, por ejemplo, esas formulas extrañas y complicadas con raices cuadradas para calcular una simple distancia... Pero no debemos olvidar que en la geometria tenemos una representacion de las otras areas de la matematica ademas de servirnos frente a casos no tan simples.
Es una bonita rama. Aqui tratare de hacer una compilacion de diversos textos y explicarlos a mi manera y orden :P
Geometria: rama de la matematica que estudia las medidas y propiedades de las figuras y cuerpos formados por puntos y lineas dentro de una plano o espacio.
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